Jeder Vortrag Motivation: warum ist dieses Thema interessant? Was nuetzen diese Techniken? Wozu koennen wir sie spaeter gebrauchen? Sternchen * auf jeden Fall besprechen, den Rest wenn die Zeit reicht (A, F) 1. Metrik und Norm * Definitionen, Beweis Dreiecksungleichung und Cauchy-Schwarz Beispiele 1D, 2D, 3D * Beispiele Metriken, die keine Norm sind * Beispiele Maximumsmetrik und -Norm, 1-Metrik/Norm, euklidische Beispiele fuer Normaequivalenzen im Rn (was sind die Konstanten?) * Normen fuer Matrizen: Frobeniusnorm mit Beweis, Eigenschaften Vertraeglichkeit Frobeniusnorm mit Vektornorm Frobeniusnorm ist keine Operatornorm 2. Stetigkeit und Grenzwert Zwei Stile moeglich: entweder erst fuer euklidische Metrik, dann allgemein oder erst allgemein und dann Beispiel de euklidischen Metrik * Offene Mengen definiert durch Baelle, Balle def. durch Metrik bzw. Norm Abgeschlossene Mengen definiert als Komplement oder ueber Baelle Beispiele von Baellen auch fuer andere als die euklidische Metrik * Stetigkeit von Funktionen auf metrischen Raeumen * Aquivalenz zur Definition ueber das Urbild einer Funktion (Beweis) Konvergenz von Folgen im metrischen Raum Vertauschbarkeit von Grenzwert und Stetigkeit * Grenzwertbegriff von Funktionen lim x -> x0 f(x) * Definition von Stetigkeit ueber diesen Grenzwertbegriff 3. Der Banachsche Fixpunktsatz Kreative Beispiele aus der Natur/Technik fuer Fixpunktiterationen Rahmen: vollstaendiger normierter Vektorraum, Eigenschaften Satz mit Voraussetzungen Beweis Beziehungen zu anderen Fixpunktsaetzen Nutzen in Beweisen (Umkehrfunktion, implizite Funktion) (N) 4a. Iterationsverfahren zur Loesung linearer Gleichungssysteme Idee: beliebig genaue Naeherung statt direkter Loesung * Jacobi-Iteration, Konvergenzkriterium und -Rate * Gauss-Seidel Iteration, Kriterien und Rate Block-Jacobi, Block-Gauss-Seidel * Arnoldi- und Lanczos-Iteration * Projektionsverfahren: allgemeines Konzept (kurz) 4b. Projektionsverfahren: Idee und allgemeines Konzept Das CG-Verfahren (Shewchuk: "The CG method without the agonizing pain") (A, S) 5.+6. Der Ableitungsbegriff: Wiederholung 1D, Neu Rn -> Rm Skalare Version aus Analysis I Alternativer Begriff aus Skript - Aequivalenz? Verallgemeinerung zur Ableitung vektorwertiger Funktionen f: R -> Rm Definition Richtungsableitung, partielle Ableitung fuer f: Rn -> R Der Gradient im euklidischen Raum, dann im Banachraum Definition der Ableitung f: Rn -> R Aquivalenz zum Zeilenvektor der partiellen Ableitungen Ableitung Funktionen Rn -> Rm Definition Jacobimatrix Funktion differenzierbar -> Jacobimatrix existiert und ist Ableitung Jacobimatrix ist stetig (alle part. Ableitungen stetig) -> differenzierbar Vertraeglichkeit/Aquivalenz der R1 -> R1 Definition Regeln fuer Ableitungen: Summe, Skalarmultiplikation, lineare Abbildung Produktregel und Anwendung auf Polynome: Leibnizregel Kettenregel und Beispiele fuer Anwendungen Minimieren unter Nebenbedingungen im Mehrdimensionalen Noch mehr Beispiele mit Funktionen ueber Matrizen 7. Taylorformel und Newtonverfahren Taylorformel im R1, Bedeutung und Beweis Restgliedformeln Newtonverfahren Beispiele Konvergenz (nicht unbedingt kompletter Beweis) Taylorformel fuer Funktionen f: Rn -> R Newtonverfahren im Mehrdimensionalen Gauss-Newtonverfahren als Vereinfachung (N, I) 8. Geschicktes Berechnen der inversen Quadratwurzel Binaere Zahldarstellung fuer nicht-negative Ganzzahlen Darstellbare Zahlenintervalle Negative Ganzzahlen: Einer- und Zweierkomplement Gebrochene Zahlen: Konzepte und Ansaetze Vorteile Gleitpunkt gegenueber Fixpunktdarstellung Fehler in der Darstellung, Rundungsfehler Rechenregeln fuer Exponential- und Logarithmusfunktionen (mit Herleitung) Newtonverfahren fuer 1/Wurzel x Anwendung in der Computergraphik (W) 9. Die wohltemperierte Stimmung Ausdruck durcharbeiten und Auffuellen mit Beispielen, Anekdoten, Historie (E) 10. Grundlagen der Elastizitaetstheorie Ziel: Konstitutive Gesetze (Verformung -> Spannung) im Mehrdimensionalen Fokus: Verstaendnis der Mechanismen (ausfuehrlich), nicht Abstraktion Herleitung, geometrische Argumentation (vor allem 2D, 3D) Spezialfaelle: Duenne Platten, Eindimensionaler Draht (Physik) 11. Die Oszillation in der Physik Potiential, Kraft im Potentialfeld, Gleichgewichtslage Taylorentwicklung, stabiles/instabiles Gleichgewicht Quadratische Naeherung, moegliche Faelle (Eigenwerte Hessematrix) Harmonischer Oszillator, allgemeine Loesung der DGl Gedaempfter Oszillator Getriebener Oszillator 12. Die schwingende Saite Elastisches Modell: Laenge, Spannung, Massendichte Spannungen und Massendichten messen (Feder? Waage?) Die wirkenden Kraefte, Naeherung fuer kleine Auslenkungen Herleitung und Loesung DGl Herleitung Abhaengigkeit Frequenz von Modellparametern Beispiele (rechnen, aber auch praktische Vorfuehrung?) 13. Das Stimmen eines Saiteninstruments Modellbildung: Gekoppeltes Federsystem Nachschlagen/Herleitung geeigneter Modellparameter Ziel: Erreichen einer bestimmten Schwingungsfrequenz durch Parameteraenderung Eine Unbekannte pro Saite: Spannung oder Laengenaenderung? Formulierung eines Systems mit einer Saite, Gleichung, Formel zur Loesung Formulierung eines mehrsaitigen Systems Stimmen einer Saite nach der anderen: Verkettung der einsaitigen Loesung Konvergenz? Banachscher Fixpunktsatz anwendbar? Herleitung der gleichzeitigen Stimmung aller Saiten: Gleichung Loesung der Gleichung durch Newtonverfahren im Mehrdimensionalen Einschaetzung Konvergenzraten, Vergleiche Literatur (A) Analysis II: Koenigsberger Hildebrandt Forster (N) Numerische Mathematik: Deuflhard/Hohmann Youssef Saad "Iterative Methods for Sparse Linear Systems" (F) Lineare Funktionalanalysis: W. Alt (sehr abstrakt und allgemein, aber interessant) (E) Finite Elemente und Elastizitaetstheorie D. Braess (Physik) Wolfgang Demtroeder "Experimentalphysik I" Bitte selbstaendig weitere suchen (S) Skript zur Schuelerwoche (I) Ausdruck Zahlen, bitte! (W) Ausdruck wohltemperierte Stimmung